高三数学作为高考备战的关键环节，其题目往往综合性强、思维要求高。掌握典型题型的解题思路与方法，对提升数学成绩至关重要。本文将通过一道经典例题的详细解析，帮助考生理解解题逻辑，构建知识网络。
例题： 已知函数 f(x) = x³ - 3x + 1，求函数在区间 [-2, 2] 上的最大值与最小值。
解题步骤分析：
第一步，确定解题方向。本题考察利用导数研究函数在闭区间上的最值问题。闭区间上连续函数的最值可能出现在区间端点或导数为零的驻点处。我们需要求出函数的导数，并找出其在给定区间内的所有临界点。
第二步，求导运算。根据导数公式可得 f'(x) = 3x² - 3。接着令导数等于零，解方程 3x² - 3 = 0，化简得到 x² = 1。由此求得两个驻点：x₁ = 1，x₂ = -1。这两个点均位于区间 [-2, 2] 内部，属于有效临界点。
第三步，计算函数值。需要计算函数在所有临界点及区间端点处的函数值，并进行比较。分别计算如下：f(-2) = (-2)³ - 3×(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1；f(-1) = (-1)³ - 3×(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3；f(1) = 1³ - 3×1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1；f(2) = 2³ - 3×2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。
第四步，比较得出结论。比较四个数值：-1, 3, -1, 3。其中最大值为3，最小值为-1。函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为3，最小值为-1。
答案： 最大值为3，最小值为-1。
思路延伸与学习建议：
这道题清晰地展示了闭区间上函数最值的求解流程。考生应注意，求导后解方程得到的驻点必须检验是否落在给定区间内。计算函数值时务必细心，避免代数运算错误。比较大小是最后的关键一步，需要将所有的候选值并列审视。
解决此类问题有助于巩固导数的基本应用。高三复习阶段，学生应当将导数与函数单调性、极值、最值及实际应用问题联系起来。数学学习不能停留在机械模仿，必须理解每个步骤的原理。例如，为什么要求导？为什么驻点和端点都要考虑？明白这些“为什么”才能灵活应对题型变化。
建立错题本是高效的学习方法。记录本题的解题思路和易错点，定期回顾反思。遇到复杂函数时，步骤完全相同，但计算量可能增加，扎实的基本功是准确性的保障。数学能力的提升依赖于对经典题型的反复钻研和总结归纳。
在高考压力下，保持清晰的解题思维尤为重要。通过系统训练，考生能够将知识点融会贯通，面对综合性题目时做到有条不紊。数学思维的精髓在于严谨的逻辑与不断的探索，每一道习题都是通向更高理解层次的阶梯。